Модуль 2. Общий метод аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов

2.4. Общая процедура аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов

В осное процедуры лежит метод АКАР, опирающийся на идею введения притягивающих ИМ $\psi_s(x_1,\dots,x_n)=0$, на которых наилучшим образом согласуются естественные (энергетические, механические, тепловые и т.д.) свойства объекта и требования задачи управления. С математической точки зрения отличительная особенность постановки проблемы синергетического синтеза состоит в способе генерации такой совокупности обратных связей — законов управления $\mathbf u(\psi)=\mathbf{u(x,z)}$, которые переводят ИТ системы из произвольного исходного состояния сначала в окрестность ИМ $\psi_s(\mathbf x)=0$, а затем обеспечивают асимптотически устойчивое движение вдоль этих ИМ вплоть до попадания на целевые аттракторы (рис. 2.7). На этих аттракторах гарантируется выполнение заданных инвариантов— технологических, механических, энергетических и др.

Базовые положения метода АКАР в задачах управления нелинейными объектами (2.16) приводят к следующим его этапам.

Сначала записываются исходные дифференциальные уравнения объекта (2.16), например, в виде:
$$
\begin{split}
\dot x_k(t)&= f_k(x_1,\dots,x_n) + M_k(t); \quad k=1,2,\dots,m-1; \; m\le n,\\
\dot x_{k+1}(t)&= f_{k+1}(x_1,\dots,x_n) +u_{k+1}+ M_{k+1}(t);\\
\dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\dots \dots\\
\dot x_n(t)&= f_n(x_1,\dots,x_n) +u_n+ M_r(t),
\end{split}\qquad
(2.32)$$где $x_1,\dots,x_n$ — координаты состояния объекта, $u_{k+1},\dots,u_k$ — управления, $M_1(t),\dots,M_r(t)$ — внешние возмущающие воздействия.

На следующем этапе к системе (2.32) добавляется $r$ уравнений, связанных с проблемой предсказания и подавления возмущений:
$$
\dot z_j(t)=g_i(z_1,\dots,z_r,x_1,\dots,x_n),\quad j=1,\dots,r.\qquad
(2.33)$$При построении уравнений (2.33) возникают две самостоятельные задачи: во-первых, задача описания реальных возмущений $M_1(t),\dots,M_r(t)$ как частных решений некоторых дополнительных дифференциальных уравнений, и, во-вторых, задача формирования связей между уравнениями исходного объекта и уравнениями возмущений. После выбора уравнений связи получаем расширенную систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{split}
\dot z_j(t)&=g_i(z_1,\dots,z_r,x_1,\dots,x_n),\quad j=1,\dots,r;\\
\dot x_i(t)&= f_i(x_1,\dots,x_n) + z_j, \quad i=r+1,\dots,m-1;\\
\dot x_{i+1}(t)&= f_{i+1}(x_1,\dots,x_n) +u_{i+1}+ z_{j+1};\\
\dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\\
\dot x_n(t)&= f_n(x_1,\dots,x_n) +u_n+ z_r.
\end{split}\qquad
(2.34)$$Построенная расширенная модель (2.34) позволяет поставить задачу синергетического синтеза законов: требуется найти такой вектор управления $\mathbf u(u_1,\dots,u_m)$, который обеспечивает перевод ИТ расширенной системы (2.34) из произвольного исходного состояния (в допустимой области) сначала на целевые ИМ
$$
\psi_s(x_1,\dots,x_n,z_1,\dots,z_r)=0,\quad s=1,2,\dots,m,\qquad
(2.35)$$а затем в результате движения вдоль $\psi_s=0$ (2.35) попадание ИТ в заданное конечное состояние. При этом подавляются внешние возмущения $M_1(t),\dots,M_r(t)$ и гарантируется асимптотическая устойчивость движения, а на траекториях движения замкнутой системы достигается минимум сопровождающего оптимизирующего функционала (СОФ)
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty \left[ \sum\limits_{s=1}^m\phi^2_s(\psi_s) + \sum\limits_{s=1}^m T^2_s\dot{\psi}_s^2(t) \right] dt.\qquad
(2.36)$$Движение ИТ синтезируемой системы, согласно (2.36), должно удовлетворять системе функциональных уравнений относительно макропеременных:
$$
T_s\dot\psi_s(t) + \phi_s(\psi_s)=0,\quad s=1,2,\dots,m.\qquad
(2.37)$$Уравнения (2.37) являются уравнениями Эйлера–Лагранжа и доставляют минимум СОФ (2.36), который отражает интегральные свойства синтезируемых систем. На основе (2.36) могут быть построены различные критерии качества систем [63, 64]. Следует подчеркнуть, что уравнения (2.37) — это инвариантные соотношения, широко используемые в аналитической механике [61, 59]. Функции $\phi_s(\psi_s)$ в (2.37) выбираются таким образом, чтобы, во-первых, обеспечить асимптотическую устойчивость системы (2.37) в целом относительно притягивающих ИМ $\psi_s=0$ и, во-вторых, достигнуть желаемых показателей качества движения ИТ к этим ИМ. На выбор функций $\phi_s(\psi_s)$ особых ограничений не накладывается. Важно только подчеркнуть, что именно макропеременные $\psi_s$ отражают синергетические (кооперативные, когерентные) свойства синтезируемых систем.

Для решения поставленной выше расширенной задачи синтеза используется общая идеология метода АКАР. Из этого метода следует, что под действием “внешних” управлений ИТ расширенной системы (2.33) попадает в окрестность пересечения ИМ $\psi_s=0$, движение вдоль которых описывается декомпозированными уравнениями “внутренней” динамики:
$$
\begin{split}
&\dot z_{j\psi}(t)=g_i(z_{1\psi},\dots,z_{r\psi},v_{i+1},\dots,v_m,x_{1\psi},\dots,x_{m-1\psi}),\\
&\dot x_{i\psi}(t)= f_i(x_{1\psi},\dots,x_{m-1\psi},v_{i+1},\dots,v_m),\\
& j=1,\dots,r;\quad i=r+1,\dots,m-1,
\end{split}\qquad
(2.38)$$где $v_{i+1},\dots,v_m$ — “внутренние” управления.

Далее, рассматривая декомпозированную систему (2.38), синтезируем “внутренние” управления $v_{i+1},\dots,v_m$, обеспечивающие желаемые динамические свойства при движении ИТ вдоль ИМ $\psi_s=0$. Синтез управлений представляет собой самостоятельную внутреннюю задачу управления подобъектом (2.38). Для этого используется последовательно-параллельная совокупность ИМ [63, 64]. Согласно принципу сохранения управлений [63], “внутренние” управления $v_k$ имеют неизменную размерность $\dim v_k=m$, совпадающую с размерностью внешних управлений. Управления $v_k$ действуют на подобъект (2.38), декомпозируя его до следующего подобъекта со своими управлениями. Далее указанный процесс последовательной декомпозиции продолжается вплоть до попадания ИТ на выбранное финишное целевое ИМ. В результате описанной процедуры находятся рекуррентно связанные между собой “внутренние” управления, зная которые можно построить желаемые макропеременные, например, вида
$$
\psi_s=\gamma_{s1}(x_{i+1}-v_1)+\dots+\gamma_{sm}(x_{n}-v_n), \quad s=1,\dots,m.\qquad
(2.39)$$На основе функциональных уравнений (2.37) и макропеременных $\psi_s$ (2.39) в силу уравнений системы (2.34) находятся “внешние” законы управления:
$$
\begin{split}
u_{i+1} &=-f_{i+1}(x_1,\dots,x_n)-z_{j+1} -\frac{D_1}{D};\\
.\dots & \dots\dots \dots\dots \dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots \\
u_n &=-f_n(x_1,\dots,x_n)-z_n -\frac{D_n}{D},
\end{split}\qquad
(2.40)$$где
$$D=
\begin{vmatrix}
\gamma_{11} &\gamma_{12} & \dots &\gamma_{1m} \\
\gamma_{21} &\gamma_{22} & \dots &\gamma_{2m} \\
\dots &\dots & \dots & \dots \\
\gamma_{m1} &\gamma_{m2} & \dots &\gamma_{mm}
\end{vmatrix}\neq 0,\;
D_1=
\begin{vmatrix}
\Phi_1 &\gamma_{12} & \dots &\gamma_{1m} \\
\Phi_2 &\gamma_{22} & \dots &\gamma_{2m} \\
\dots &\dots & \dots & \dots \\
\Phi_m &\gamma_{m2} & \dots &\gamma_{mm}
\end{vmatrix}\neq 0, \;\text{при}\;\Phi_s=0,
$$

$$
D_n=
\begin{vmatrix}
\gamma_{11} &\gamma_{12} & \dots &\gamma_{1,m-1} & \Phi_1 \\
\gamma_{21} &\gamma_{22} & \dots &\gamma_{2m} & \Phi_2 \\
\dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\
\gamma_{m1} &\gamma_{m2} & \dots &\gamma_{mm} & \Phi_m
\end{vmatrix}\neq 0, \;\text{при}\;\Phi_s\neq 0,
$$

$$
\Phi_s=\gamma_{s1}\dot v_1(t) +\gamma_{s2}\dot v_2(t) +\dots +\gamma_{sn}\dot v_n(t) -\frac{1}{T_s}\phi_s(\psi_s).
$$

Приведенные здесь соотношения позволяют найти конкретные законы векторного управления (2.40), которые переводят ИТ системы в окрестность пересечения целевых ИМ $\psi_1=0,\dots,\psi_m=0$. Движение ИТ вдоль этого пересечения определяется уравнениями “внутренней” динамики (2.38). Законы управления (2.40) вместе с уравнениями связей $v_k$ образуют уравнения динамического агрегированного регулятора, который обеспечивает селективную инвариантность замкнутой системы (2.33), (2.39) к возмущениям $M_1(t),\dots,M_r(t)$, асимптотическую устойчивость ее движения и желаемые динамические свойства [61, 59].

С точки зрения поставленной здесь проблемы синтеза нелинейных синергетических систем, принципиальными отличиями развиваемого нового подхода в теории управления являются:

• во-первых, концентрация основного внимания на поведении синтезируемой системы на притягивающих инвариантных многообразиях — аттракторах, что приводит к управляемой динамической декомпозиции системы и, следовательно, к существенному упрощению ее поведения, т.к. при этом возникает возможность формирования желаемых эволюционных уравнений низкой размерности, описывающих устойчивые асимптотические режимы движения;
• во-вторых, возможность формирования желаемых эволюционных уравнений низкой размерности, которые описывают устойчивые асимптотические финишные режимы движения и представляют собой уравнения динамического состояния синтезируемых систем на многообразиях;
• в-третьих, каскадный синтез параллельно-последовательной совокупности “внутренних” управлений, динамически связанных между собой и обеспечивающих желаемое поведение декомпозированной системы на аттракторах.
  

Развиваемый синергетический подход обеспечивает внутренний процесс самоуправления в синтезируемой системе, что является результатом применения принципа “аттрактор—в аттракторе” для каскадного формирования последовательности внутренних управлений, сжимающих фазовый объем системы по направлению от внешней области фазового пространства к совокупности вкладываемых друг в друга внутренних областей вплоть до попадания ИТ в желаемое состояние системы.

В методе АКАР, основанном на процедуре агрегирования — декомпозиции, для обеспечения асимптотической устойчивости синтезируемых нелинейных систем высокой размерности используется параллельно-последовательная совокупность функций Ляпунова. При этом сначала вводятся простейшие функции Ляпунова вида $\mathrm V_s=0,5\psi_s^2$ относительно макропеременных $\psi_s(x_1,\dots,x_n)$, а затем на конечном многообразии $\psi_r =0$ исследуется устойчивость движения только по отношению к части ($n-rm$) координатам, которые описывают поведение ИТ декомпозированной системы на заключительном этапе движения. Указанная совокупность функций Ляпунова представляет собой своего рода аналог метода векторных функций Ляпунова (ВФЛ), развитый в работах академика РАН В.Ф. Матросова [85], в применении к синергетической теории синтеза нелинейных систем. В теории АКАР метод ВФЛ отличается асимптотически точной динамической декомпозицией исходной системы. Кроме того, не требуется поиска соответствующих систем и теорем сравнения для оценки асимптотической устойчивости движения системы. Эта важная особенность связана с тем, что в методе АКАР рассматриваются задачи устойчивости управляемых динамических систем. Иначе говоря, в синергетическом подходе метод ВФЛ естественным образом связан с процедурой АКАР. Именно возможность структурного синтеза управлений, переводящих ИТ от одного многообразия к другому пониженной размерности, позволяет в методе АКАР осуществить строгую процедуру аналитического построения ВФЛ для текущего (на многообразиях) анализа асимптотической устойчивости синтезируемых нелинейных систем.

Эти особенности метода АКАР позволяют наделить синтезируемые системы замечательным свойством грубости (робастности) переходных процессов к структурным вариациям и параметрическим возмущениям. Известно, что асимптотическая устойчивость систем в определенной области фазового пространства является грубым свойством, которое усиливается в случае экспоненциальной устойчивости систем. Системы управления, синтезируемые по синергетическим принципам, являются как асимптотически устойчивыми в целом (т.е. во всей области фазового пространства), так и экспоненциально устойчивыми относительно вводимых инвариантных многообразий $\psi_s =0$. Это означает, что такие системы обладают отличительным свойством грубости (робастности) переходных процессов.