Модуль 2. Общий метод аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов

2.5. Принцип иерархизации синтезируемых нелинейных систем

При изучении сложных многомерных и многосвязных систем необходимо оперировать с большим числом координат состояния. Их количество может оказаться столь значительным, что проблема синтеза таких систем известными методами становится практически необозримой и, следовательно, неразрешимой. В этом, согласно Р. Беллману, и состоит “проклятие размерности”, довлеющее над современной наукой, в том числе и над теорией управления. В природных же системах, судя по всему, такое “проклятие” отсутствует, иначе бы они не существовали. И разрешается оно в виде принципа иерархизации, согласно которому любая сложная система состоит из некоторой совокупности локальных систем, каждая из которых, в свою очередь, включает в себя энерговещественную (т.е. динамическую, или силовую) и информационную, или управляющую, подсистемы, находящиеся друг с другом в тесном взаимодействии. Иначе говоря, на общем энергетическом фоне силовой динамики поведение сложной системы, находящейся в изменяющейся внешней среде, будет также определяться и ее информационными свойствами. Добавление к энергетической компоненте системы ее информационной составляющей расширяет область фазового пространства ее устойчивого существования. Информационная составляющая такой системы связана с ее целью и во многом определяется структурой формируемых обратных связей, а энергетическая, или силовая, составляющая создает основу для ее информационного поведения [66, 67, 61, 59].

В свою очередь, каждая из указанных локальных систем, входящих в общую макросистему, может содержать несколько уровней иерархии, когда на более высокий уровень поступает некоторая обобщенная информация, а на низших уровнях эта информация конкретизируется. Пользуясь биологическим языком, объект более высокого уровня иерархии выступает по отношению к объекту более низкого уровня как род к виду. Очевидно, что повышение статуса объекта в иерархии общей макросистемы ведет к соответствующему увеличению числа его степеней свободы, т.е. к расширению фазового пространства системы путем, например, перевода ряда ее существенных показателей и параметров в разряд новых переменных. Другими словами, для преодоления “проклятия размерности” необходимо, согласно синергетическому принципу “расширения — сжатия” фазового пространства, выдвинутому в [61], уметь рассматривать систему в пространстве с большим числом координат. Очевидно, что такое расширение должно производиться с учетом целей — аттракторов, поставленных перед синтезируемой системой.

Итак, сложные макросистемы необходимо рассматривать в виде некоторой иерархической макросистемы, динамика которой на каждом уровне иерархии описывается динамикой подсистем с координатами и параметрами, соответствующими данному конкретному уровню. На каждом таком иерархическом уровне макросистема имеет свои аттракторы — локальные цели.

Тогда, в целом, синтезируемая система будет иметь иерархическую структуру, определяемую совокупностью взаимосвязанных естественных и искусственно вводимых инвариантов. Именно по такой схеме построена процедура синтеза систем методом АКАР: вводимая макропеременная $\psi_s\left(\psi_1,\ldots,\psi_m\right )$, обладающая “коллективными свойствами” динамики, несет обобщенную информацию, т.е. является иерархической переменной и, следовательно, определяет свойство “рода”. Входящие же в нее локальные переменные $\psi_1,\ldots,\psi_m$ несут информацию более низкого уровня. При этом финишное многообразие $\psi_m=0$ является целевым, непосредственно отражающим желаемые технологические инварианты синтезируемой системы. Отсюда следует, что по мере перехода системы от одного многообразия к другому в направлении финишного многообразия происходит существенное уменьшение ее числа степеней свободы. Каждый более высокий уровень иерархии управляет динамикой более низкого уровня, от которого он получает селективную информацию. Согласно методу АКАР, макропеременная $\psi_s\left(\psi_1,\ldots,\psi_m\right )$ представляет собой иерархическую функцию состояния синтезируемой системы, а ее изменения во времени суть полные дифференциалы. Это означает, что, с одной стороны, функция $\psi_s$ несет информацию о текущем состоянии динамической системы, а с другой — она отражает энергию системы. Иначе говоря,$\psi_s\left(\psi_1,\ldots,\psi_m\right )$ для каждой синтезируемой системы является некоторой обобщенной энергоинформационной функцией, отражающей ее макроскопические свойства. Через $\psi_s$ соответствующая система несет информацию о себе самой и тем самым физически реализуется.

В соответствии с методом АКАР, в состав $\psi_s$ входит некоторая совокупность локальных макропеременных $\psi_1,\ldots,\psi_m$ понижающейся размерности. Эти макропеременные формируют некоторые инвариантные многообразия $\psi_k\left( x_1,\ldots,x_n\right )=0$, в которые входят желаемые инварианты системы на соответствующем уровне ее иерархии. Равновесные состояния $\psi_k=0$ представляют собой выделенные энергоинформационные состояния в фазовом пространстве синтезируемой системы, а переход по ступеням иерархии $\psi_1=0,\ldots,\psi_m=0$ связан с “забыванием” системой своего прошлого. В целом, этот иерархический ряд описывает энергоинформационную характеристику протекающих в системе процессов. Такое протекание можно представить в виде следующей цепочки: а) возникновение той или иной случайной выборки начальных условий как результат взаимодействия системы с внешней средой; б) формирование текущих макропеременных $\psi_1,\ldots,\psi_m$ как следствие действия начальных условий на динамику системы; в) образование устойчивых состояний $\psi_k=0$ и инвариантов системы. Выделенные состояния $\psi_k=0$ — инвариантные многообразия образуют каркас и структуру синтезируемой системы. Формирование этих многообразий непосредственно связано с выбором цели функционирования иерархической системы, фазовое пространство которой будет состоять из областей притяжения к соответствующим аттракторам.

Итак, согласно методу АКАР, в основе теории построения иерархических систем лежит принцип “расширения—сжатия” фазового пространства, т.е. принцип динамизации, когда каждая из локальных систем, входящих в общую макросистему, преобразуется в управляемую на своем уровне иерархии, точнее, на своем многообразии. Указанный основополагающий принцип реализуется в полной мере в методе АКАР путем введения желаемой совокупности инвариантных многообразий. При этом структура и уровень целесообразной сложности синтезируемой системы определяются выбором вида соответствующих многообразий $\psi_1=0,\ldots,\psi_m=0$. При таком подходе к построению иерархической системы ее поведение на каждом уровне иерархии будет описываться вполне обозримым количеством координат и уравнений на соответствующих многообразиях, которые формируют желаемые соотношения между компонентами системы. Указанные описания будут асимптотически вкладываться друг в друга, формируя взаимосвязанную динамику системы в целом. Очевидно, что чем в большей мере вводимые многообразия и инварианты соответствуют природе соответствующих объектов, тем эффективнее будут энергоинформационные процессы в иерархической системе. Иначе говоря, введение инвариантных многообразий позволяет существенно продвинуться в решении проблемы изучения процессов иерархического расслоения сложных систем, а также процессов управления динамикой таких иерархически организованных систем.

Сущность нового подхода к исследованию проблем управления и информации в иерархических системах состоит в идее самоорганизации — образовании в пространстве состояний этих систем совокупности аттракторов (синергий), т.е. некоторых притягивающих множеств. В основе таких систем лежит информационная динамика, отличительная особенность которой состоит не в значительных затратах энергии на управление, как это обычно осуществляется в классической теории управления, а в использовании информации о возможных вариантах асимптотически устойчивых состояний движения систем и в способах перехода в такие состояния. Очевидно, что реальная нелинейная система той или иной физической природы может обладать многими асимптотически устойчивыми состояниями, которым будут соответствовать свои области перемежаемости траекторий с различным динамическим поведением. Отсюда следует, что для перевода системы в желаемый асимптотический режим движения достаточно иметь лишь информацию о том, к какому аттрактору относится в данный момент времени соответствующая траектория системы. Другими словами, управление будет сводиться к “подкорректировке” системы и, следовательно, к ее удержанию на желаемом семействе асимптотически устойчивых траекторий. Такого рода информационное управление динамикой сложных макросистем требует не столько значительных энергетических затрат на управление, а информации о “метке” траектории. В синергетическом подходе роль указанной метки выполняют динамические макропеременные (синергетические информаторы), формирующие желаемые инвариантные многообразия — аттракторы систем.

Применение метода АКАР для синтеза иерархических систем управления имеет следующие отличительные особенности:

• каскадный синтез иерархических законов управления осуществляется полностью аналитически, т.е. эти законы формируются в виде функций координат состояния системы без проведения каких-либо численных процедур;
• структуры и параметры синтезируемых законов управления, согласно принципу достаточного разнообразия У. Эшби, полностью соответствуют структуре и параметрам правых частей исходных дифференциальных уравнений объекта управления. Область действия этих законов охватывает, по меньшей мере, всю область фазового пространства, адекватно описываемую математической моделью объекта, т.е. чем полнее эта модель, тем эффективнее действие законов управления;
• внешний иерархический закон управления — это закон—координатор для каждого из последующих локальных законов—исполнителей, связанных, в свою очередь, между собой некоторой иерархической подчиненностью, определяемой числом и видом вводимых инвариантных многообразий. Другими словами, внешний регулятор—координатор отвечает за достижение целей, поставленных перед иерархической системой управления в виде совокупности желаемых аттракторов. Этот регулятор выдает задания регуляторам—исполнителям, обеспечивающим выполнение локальных целей — аттракторов на соответствующих инвариантных многообразиях. Целесообразно, чтобы локальные регуляторы—исполнители находились между собой в партнерских отношениях, направленных на достижение главных целей иерархической системы, которая в результате будет состоять из взаимодействующих локальных подсистем, также обладающих иерархической структурой;
• синтезируемые иерархические системы управления обладают замечательными свойствами асимптотической и экспоненциальной устойчивости в целом относительно целевых инвариантных многообразий. Это означает, что если под действием “внутренних” управлений, реализуемых локальными регуляторами, движение ИТ вдоль целевых многообразий также обладает указанными свойствами, то и вся иерархическая система будет асимптотически устойчива в целом относительно заданных значений всех ее координат состояния или их желаемых соотношений. Из теории устойчивости известно, что асимптотическая устойчивость доставляет системе важное на практике свойство грубости (робастности) переходных процессов к вариациям ее уравнений и, следовательно, параметров;
• описанные свойства синтезируемых иерархических систем позволяют нередко осуществить структурное упрощение законов управления на инвариантных многообразиях.

Дело в том, что в теории устойчивости Ляпунова известна теорема, согласно которой об устойчивости нелинейной системы
$$
\dot x_i(t)=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}a_{ik}x_k+F_i\left( x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n\right ),\;i=\overline{1,n}
$$можно судить по свойствам системы первого приближения
$$
\dot x_i(t)=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}a_{ik}x_k.
$$Суть этой теоремы состоит в следующем определении: в области притяжения исходной нелинейной системы достаточным условием ее асимптотической устойчивости относительно нулевых решений $x_k=0$ является отрицательность вещественных частей корней характеристического уравнения системы первого приближения. Собственно говоря, эта теорема послужила своего рода оправданием доминирующей в классической теории автоматического регулирования линеаризации уравнений возмущенного движения (уравнений в отклонениях), образуемых в соответствии с известной концепцией возмущенно-невозмущенного движения Ляпунова. При такой линеаризации негласно предполагается, что ИТ системы всегда находится в области притяжения исходной нелинейной системы. Однако в теории управления до сих пор отсутствуют эффективные методы отыскания этой области для нелинейных систем, тем более высокого порядка.

В методе же АКАР положение с проблемой области притяжения значительно оптимистичнее, т.к. сама идеология этого метода базируется именно на притягивающих инвариантных многообразиях и, кроме того, как подчеркивалось выше, синтезируемые системы всегда асимптотически устойчивы в целом относительно указанных многообразий. Это означает, что на последних многообразиях нередко можно осуществить упрощение декомпозированных уравнений движений и тем самым упростить структуру синтезируемых “внутренних” законов управления. На практике может оказаться достаточным использование полных нелинейных моделей движения лишь только для синтеза “внешних” иерархических законов управления, т.е. синтеза регуляторов—координаторов, гарантирующих неизбежное попадание ИТ на первые один-два последовательно вводимых инвариантных многообразий или их пересечений. Итак, осуществив методом АКАР синтез иерархических законов управления по полным нелинейным моделям объектов, можно затем в зависимости от технологической области фазового пространства, определяемой изменяющимися режимами работы объекта, произвести текущее упрощение этих законов без существенного ущерба для качественных свойств замкнутых систем. Такой подход можно назвать “редукцией на многообразиях”.

Согласно методу АКАР, опирающемуся на принцип “расширения—сжатия” фазового пространства, конечной целью построения иерархической системы управления является синтез ее структуры в виде желаемой совокупности естественных и искусственно вводимых инвариантов. Такой подход позволяет коренным образом преодолеть “проклятие размерности”. Более того, возможность увеличения числа степеней свободы синтезируемой системы для требуемого совершенствования ее качества указывает на целесообразность формулировки обратного тезиса, а именно: “благотворности высокой размерности” управляемых динамических систем.

Перейдем далее к конкретизации общих положений и закономерностей метода АКАР, основанного на последовательном (скалярное управление), параллельном (векторное управление) или совмещенном способе введения инвариантных притягивающих многообразий — аттракторов в фазовом пространстве синтезируемых систем.