Модуль 2. Общий метод аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов
2.3. Основные функциональные уравнения и сопровождающие оптимизирующие функционалы
Будем считать, что движение изображающей точки (ИТ) синтезируемой системы должно удовлетворять следующей системе основных функциональных уравнений:
$$
T_s\dot\psi_s(t) +\phi_s(\psi_s)=0 \quad s=1,2,\dots,m, \quad T_s>0,\qquad
(2.18)$$где $\psi_s(x_1,\dots,x_n,\omega_1,\dots,\omega_\mu)$ — некоторые агрегированные макропеременные. При этом функции $\phi_s(\psi_s)$ должны
соответствовать следующим условиям: $\phi_s(0)=0$ и $\phi_s(\psi_s)\psi_s>0$ при любых $\psi_s\neq 0$, т.е. они обращаются в нуль
только на многообразиях $\psi_s=0$, относительно которых система (2.18) асимптотически устойчива в целом. Кроме того, функции $\phi_s(\psi_s)$ выбираются таким образом, чтобы, помимо асимптотической устойчивости системы (2.18), обеспечить желаемые показатели качества движения ИТ к притягивающим многообразиям
$$
\psi_s(x_1,\dots,x_n,\omega_1,\dots,\omega_\mu)=0, \quad s=1,2,\dots,m,
$$а также гарантировать требуемые динамические свойства декомпозированной $(n-m)$ системы управления при движении ИТ вдоль пересечения многообразий $\psi_s=0$ в заданное конечное состояние.
На выбор функций $\phi_s(\psi_s)$ в уравнениях (2.18) особых ограничений не накладывается. Важно только подчеркнуть, что именно макропеременные $\psi_s$ отражают синергетические (кооперативные, когерентные) свойства синтезируемых многоуровневых систем. Отсюда следует, что при выборе функций $\phi_s(\psi_s)$ может оказаться весьма полезным использовать известные закономерности физических, экологических и других систем, в которых наиболее ярко проявляются свойства взаимосвязанности и совместности действий, минимизации потерь энергии в системе и т.д. В частности, к таким закономерностям относятся уравнения со степенными нелинейностями:
$$
T_s\dot\psi_s(t) +\sum_{k=1}^r \alpha_{ks}\psi_s^k=0,\quad s=1.2.\dots,m.\qquad
(2.19)$$С синергетической точки зрения функциональные уравнения (2.18), (2.19) непосредственно связаны с эволюционными уравнениями и аттракторами ($\psi_s=0$), которые описывают финишные этапы движения систем. На этих этапах существенно возрастает свойство детерминации. Известно [51, 43, 52, 41, 45, 53], что большинство эволюционных уравнений синергетики — это уравнения со степенными или экспоненциальными зависимостями, что подтверждает целесообразность использования функциональных уравнений в форме (2.19). Эту форму, в частности, имеет широко известное в науке уравнение Бернулли:
$$
T_s\dot\psi_s(t) +\alpha_{1s}\psi_s +\alpha_{rs}\psi_s^r=0, \quad s=1,2,\dots,m, \quad r=2,3,\dots,\qquad
(2.20)$$решение которого
$$
\psi_s^{r-1}(t)=\frac{\alpha_{1s}}{\big(\alpha_{1s}\psi_{s0}^{1-r} +\alpha_{rs}\big)\exp(r-1)\frac{\alpha_{1s}}{T_s}t -\alpha_{rs}}
$$при $t\to 0$ и $\alpha_{1s}>0$, $\alpha_{rs}>0$ экспоненциально стремится к $\psi_s=0$. Если же положить $r=2$, $\alpha_{1s}<0$ и $\alpha_{rs}>0$, то тогда квадратичное уравнение Бернулли (2.20) превращается в известное логистическое уравнение, решение которого экспоненциально стремится к значению $\psi_s=\dfrac{|\alpha_{1s}|}{\alpha_{rs}}$. Такое уравнение описывает, в частности, экологическое равновесие, а его макропеременные $\psi_s$ обобщенно отражают сложные кооперативные процессы.
Отличительной особенностью системы (2.18) является наличие в ней полной совокупности тривиальных первых интегралов $\psi_s=B_s$, $s=1,\dots,m$ или частных $\psi_s=0$. Это означает, что для этой системы можно определить общее текущее распределение вероятностей:
$$
P=\exp\left[\psi(\psi_1,\dots,\psi_m) +\int\limits_0^t\sum_{s=1}^m \frac {1}{T_s}\frac{\partial \phi_s}{\partial \psi_s}dt\right],
$$где $\psi(\psi_1,\dots,\psi_m)$ — произвольная функция первых интегралов. Тогда плотность вероятности в области пересечения многообразий $\psi_s=0$ будет равна
$$
P(0,\dots,0)=P_0 \exp\left(\int\limits_0^t\sum_{s=1}^m \frac {1}{T_s}\frac{\partial \phi_s}{\partial \psi_s}dt\right).
$$Полученные здесь выражения позволяют после выбора функций $\phi_s(\psi_s)$ вычислить соответствующую плотность вероятностей системы (2.18). Очевидно, что $\phi_s(\psi_s)$ целесообразно выбирать таким образом, чтобы плотность была максимально возможной при учете соответствующих ограничений, накладываемых на вид функций $\phi_s(\psi_s)$, исходя из некоторых дополнительных предпосылок и критериев. Это положение полностью согласуется с принципом максимальной плотности вероятности, т.е. максимально возможной скорости сжатия фазового пространства. Так, например, система (2.18) в виде кубического $(r=3)$ уравнения Бернулли (2.20) имеет плотность вероятностей
$$
P_3=\exp\left[\psi(\psi_1,\dots,\psi_m) +\int\limits_0^t\sum_{s=1}^m \frac {1}{T_s}\big(\alpha_{1s}+3\alpha_{3s}\psi_s^2\big)dt\right],
$$большую по сравнению с плотностью для квадратичного $(r=2)$ уравнения Бернулли:
$$
P_2=\exp\left[\psi(\psi_1,\dots,\psi_m) +\int\limits_0^t\sum_{s=1}^m \frac {1}{T_s}\big(\alpha_{1s}+2\alpha_{2s}\psi_s\big)dt\right].
$$Это означает, что скорость сжатия фазового объема для кубического уравнения будет выше, особенно для внешней области фазового пространства. Аналогично можно оценить плотность вероятности и для других видов функциональных уравнений (2.18) при синтезе синергетических систем.
Разумеется, что, помимо указанных уравнений Бернулли, для построения функциональных уравнений могут быть использованы и другие известные эволюционные уравнения природных систем.
Рассматриваемый синергетический подход может быть изложен также в терминах теории оптимального управления. Для этого, используя стандартные в вариационном исчислении методы, можно показать, что основные функциональные уравнения (2.18) являются уравнениями Эйлера—Лагранжа для следующего обобщенного сопровождающего оптимизирующего функционала (СОФ):
$$
J_\Sigma =\int\limits_0^\infty\left[\sum_{s=1}^m\phi_s^2(\psi_s) +\sum_{s=1}^m T_s^2 \dot\psi_s^2(t)\right]dt,\qquad
(2.21)$$где $m$ — размерность вектора управления.
Очевидно, что уравнения вида (2.18), (2.19) и (2.20} выделяют устойчивое подсемейство экстремалей, доставляющих безусловный минимум функционалу (2.21). В подынтегральном выражении (2.21) функции $\phi_s(\psi_s)$ должны удовлетворять следующим условиям:
- Однозначности, непрерывности и дифференцируемости при всех значениях $\psi_s$;
- $\phi_s(0)$;
- $\phi_s(\psi)\psi_s>0$ при любых $\psi_s\neq 0$.
Иначе говоря, функции $\phi_s(\psi_s)$ при выполнении условий 1), 2) и 3) будут того же знака, что и $\psi_s$, а в нуль они обращаются только на многообразиях $\psi_s=0$. Определим полную производную функции
$$
\frac{d\psi_s}{dt} =\sum_{k=1}^n\frac{\partial \psi_s(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}\dot x_k(t)
$$и подставим вместо $\dot x_k(t)$ правые части исходной системы дифференциальных уравнений нелинейного объекта, в частности со скалярным управлением (\mbox{$m=1$}):
$$
\begin{split}
\dot x_1(t) &=f_i(x_1,\dots,x_n); \quad i=1,2,\dots,n-1;\\
\dot x_n(t) &=f_n(x_1,\dots,x_n)+u,
\end{split}
$$тогда получим
$$\frac{d\psi}{dt} =\sum_{k=1}^n\frac{\partial \psi(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}f_k(x_1,\dots,x_n)+\frac{\partial \psi}{\partial x_n}u.
$$На основе известного в вариационном исчислении свойства инвариантности к замене переменных функционал (2.21) с учетом последнего выражения может быть записан в следующей форме:
$$
J_\Sigma =\int\limits_0^\infty\left[\phi^2(\psi) +T^2\left(\sum_{k=1}^n\frac{\partial \psi}{\partial x_k}f_k +\frac{\partial \psi}{\partial x_n}u\right)^2\right]dt.
$$Очевидно, что эта форма СОФ (2.21) отражает общие свойства как исходного объекта, так и его системы управления. Это означает, что в рассматриваемом методе оптимизирующий функционал не строго постулируется заранее, как это предполагается в стандартных методах АКОР, а конструируется путем выбора соответствующих функций $\phi_s(\psi)$ и $\psi_s(x_1,\dots,x_n)$ с привлечением уравнений объекта. Такой подход позволяет в известной мере учесть свойства исходного объекта, т.к. внешнее “навязывание” постулируемого критерия и игнорирование свойств объекта на этапе выбора критерия качества может привести к противоестественному или даже неприемлемому для нелинейного объекта протеканию переходных процессов. В этом смысле формирование оптимизирующего функционала с учетом уравнений объекта согласуется с известным в механике принципом наименьшего принуждения Гаусса. Разумеется, что при этом объект должен быть переведен из исходного в заданное состояние, т.к. синтезируется управляемое движение.
Следующее отличие состоит в формировании функционала (2.21) относительно макропеременных $\psi_s$, являющихся некоторыми выбираемыми агрегатами координат состояния. В этой связи задача синтеза регуляторов на основе СОФ (2.21) с использованием агрегированных макропеременных (по аналогии с аббревиатурой теории АКОР) названа задачей АКАР — аналитическим конструированием агрегированных регуляторов. Агрегированные макропеременные $\psi_s$ и функции $\phi_s(\psi_s)$ могут выбираться из разных соображений, связанных с желаемыми переходными и установившимися режимами движения объекта — аттракторами в фазовом пространстве систем.
Ранее в работах [57, 56] была обоснована целесообразность применения во многих задачах управления переменных в фазовом пространстве функционалов, которые бы позволяли во внешней области обеспечить асимптотически устойчивое движение и достаточно эффективно подавить возникшие отклонения за малое время, а во внутренней области — оптимизировать систему, например по обычным квадратичным критериям теории АКОР. К такого рода функционалам и относятся СОФ (2.21), изменение структуры которых может осуществляться, во-первых, как за счет изменения структуры функций $\phi_s(\psi_s)$ путем, например, удержания соответствующего числа членов высоких степеней функций $\psi_s$, т.е. $\psi_s^3,\psi_s^5,\dots,\psi_s^r$ (2.19), так и, во-вторых, путем изменения формы макропеременных $\psi_s(x_1,\dots,x_n)$, которые связаны с желаемыми аттракторами синтезируемых систем. В первом случае СОФ (2.21) имеет, по существу, разный вид для режимов малых отклонений, когда члены с высокими степенями будут оказывать малое влияние ($\psi^3=\dots=\psi^r\cong 0$), и больших отклонений, когда эти члены будут играть доминирующую роль в переходном процессе. Наличие в функционале (2.21) членов высоких степеней приведет к тому, что закон управления, синтезированный на его основе, будет более активно реагировать на большие отклонения и интенсивно их подавлять за малое время. В то же время в функционале имеются квадратичные члены $\psi_s^2$, что позволит получить достаточно эффективную отработку системой и малых отклонений от заданного состояния.
В терминах синергетики [53, 55] макропеременные $\psi_s$ — это обобщенные параметры порядка, отражающие коллективные свойства синтезируемых систем, они являются “информаторами” — носителями синергетической информации о процессах в системе. Именно эти параметры порядка и определяют протекание направленных процессов самоорганизации в синтезируемой системе. Трактовка макропеременных $\psi_s$ как обобщенных параметров порядка, характеризующих коллективные состояния многоуровневых систем, позволяет дать следующую синергетическую интерпретацию функционалам вида (2.21). Согласно Хакену [23, 52], мерой макроскопического действия самоорганизующихся систем может служить квадрат параметра порядка. Эту меру можно условно также назвать работой, производимой системой. Отсюда и следует целесообразность введения в сопровождающий функционал (2.20) квадратичных составляющих $\phi_s^2(\psi)$, которые отражают меру макроскопического действия синтезируемых систем. Под эффективностью систем в синергетике понимается скорость изменения меры макроскопического действия, что в нашем случае отражается введением составляющих $\dot\phi_s(\psi_s)$ в сопровождающий функционал. Кстати отметим, что известная в теории АКОР трудная проблема выбора весовых коэффициентов квадратичных критериев качества получает применительно к функционалам (2.21) очевидное и физически ясное решение. Здесь весовые коэффициенты $T_s$ определяют задаваемое время движения ИТ системы до пересечения многообразий.
Оптимизирующим функционалам (2.21), используемым в методе АКАР, можно, вообще говоря, дать содержательную интерпретацию в виде некоторых обратных задач вариационного исчисления. Действительно, из вариационного исчисления известно, что лагранжиан $L_e$ является критерием естественного движения, которое совершает соответствующий объект согласно его собственным, т.е. нескорректированным $(u=0)$, динамическим свойствам. Известно, что при естественном движении критерием выступает интеграл
$$
J=\int\limits_{t_0}^{t_k}L_e(x_1,\dots,x_n,t)dt,
$$который в механике называется “действием”. Этот критерий выделяет среди множества возможных движений то реальное движение, на котором он имеет стационарное значение (обычно минимальное). Очевидно, что необходимость введения соответствующего управления $u(x_1,\dots,x_n)$ возникает в тех случаях, когда траектории естественного движения объекта не проходят через желаемые (целевые) состояния. Тогда возникшее отклонение от целевого состояния объекта можно устранить введением нового лагранжиана
$$
L_\Sigma=L_e +L_u,
$$который отражает теперь свойства управляемого объекта. Отсюда следует, что синтезируемый методом АКАР закон управления $u(x_1,\dots,x_n)$ можно интерпретировать как дополнительное изменение естественного лагранжиана, т.е.
$$
u(x_1,\dots,x_n)\equiv L_u.
$$Иначе говоря, возникает своего рода обратная задача вариационного исчисления, когда требуется найти новый критерий — оптимизирующий функционал, который обеспечивает достижение поставленной цели синтезируемой системой. Обычно это трудноразрешимая задача теории оптимального управления, однако в методе АКАР она получает свое эффективное решение в виде сопровождающих функционалов. Здесь важно подчеркнуть, что при такой интерпретации оптимизирующий функционал приобретает новое методологическое содержание, а именно: он становится, в первую очередь, связанным с достижением конечной цели управления объектом — переводом его в желаемое конечное состояние в фазовом пространстве из произвольного начального положения (в некоторой допустимой области), а не столько с обеспечением желаемых свойств переходных процессов, как это обычно трактуется в математической теории оптимального управления. В методе АКАР такой интерпретации придается кардинальное значение, а основная проблема управления формулируется как проблема синтеза законов управления $u(x_1,\dots,x_n)$, обеспечивающих в процессе сжатия фазового объема системы “объект—регулятор” обязательное попадание ее ИТ на некоторые асимптотические многообразия — аттракторы в фазовом пространстве.
Вторая формулировка обратной вариационной задачи в методе АКАР с СОФ (2.21) состоит в следующем. Предположим, что в оптимальной системе управления может быть найдено $m$ функционально независимых первых интегралов $\psi_s=0$ $(s=1,\dots,m)$ системы уравнений Эйлера—Лагранжа (2.18), которые определяет поле экстремалей для функционала (2.21) и должны быть совместны с исходными уравнениями. Тогда управления, найденные в результате совместного решения исходных уравнений и (2.18), доставляют безусловный экстремум СОФ (2.21). Иначе говоря, оптимальная система будет иметь этот функционал. Обе формулировки обратных задач вариационного исчисления устанавливают непосредственную связь метода АКАР с базовыми понятиями аналитической механики.
Для того, чтобы конкретизировать вид СОФ (2.21) и учесть дополнительные требования к синтезируемой системе, следует должным образом выбрать как функции $\phi_s(\psi_s)$, так и макропеременные $\psi_s$. Рассмотрим кратко некоторые способы построения этих функций в рассматриваемом методе АКАР [61]. Предположим сначала, что требуется обеспечить ограничения $|x_k|\le A_k$. Тогда, используя макропеременные, например с введенной функцией гиперболического тангенса
$$
\psi_s=x_k +A_k \tanh F_k(x_1,\dots,x_n,\dots),\qquad
(2.22)$$можно выполнить указанные ограничения на координаты и управления.
При синтезе нелинейных систем разрывного управления можно использовать кусочно-гладкие макропеременные вида
$$
\psi_s=\sum_{k=1}^{n-1}\beta_k|x_k| +\beta_n|s|
$$или
$$
\psi_s=\sum_{k=1}^{n-1}\beta_k x_k^2 +\beta_n|s|,\qquad
(2.23)$$где $s=x_n +\phi(x_1,\dots,x_{n-1})$. Путем выбора соответствующих функций $\phi_s(\psi_s)$ и $\psi_s(x_1,\dots,x_{n})$ на основе СОФ (2.21) можно построить различные свертки, в той или иной мере отражающие распространенные инженерные критерии качества для оптимизации режимов как малых, так и больших отклонений синтезируемых систем [55]. Так, например, для макропеременных $\psi_s$ вида (2.22) и функций $\phi_s(\psi_s)=\psi_s$ СОФ (2.21) при больших отклонениях от $\psi_s=0$, когда $\psi_{s\sup} =\pm A_k +x_k$
$$
J_{\sup} \sim \int\limits _{t_{0\sup}}^{t_{k\sup}}\left[\big(\pm A_k +x_k\big)^2 +T_k^2\dot x_k^2(t)\right]dt.\qquad
(2.24)$$Предположим, что в уравнениях объекта $f_n=0$, тогда из (2.24) имеем
$$
J_{\sup} \sim \int\limits _{t_{0\sup}}^{t_{k\sup}}\left[\big(\pm A_k +x_k\big)^2 +T_k^2U_k^2(t)\right]dt.\qquad
(2.25)$$Полученный критерий (2.25) отражает требование минимума затрачиваемой на управление энергии с учетом ограничения на координату $|x_k|\le A_k$, что часто выдвигается в прикладных задачах управления.
Аналогично, при выборе функций $\phi_s(\psi_s)=\tanh\psi_s$ и $\psi_s$ (2.22) в режиме больших отклонений от $\psi_s=0$, когда $\psi_{s\sup}\cong\pm 1$, СОФ (2.21) принимает вид
$$
J_{\sup} \sim \int\limits _{t_{0\sup}}^{t_{k\sup}}\left[1 +T_s^2\dot \psi_{\sup}^2(t)\right]dt.\qquad
(2.26)$$
Если в уравнениях объекта $f_n=0$, то на основе (2.26) получаем СОФ
$$
J_{\sup} \sim \int\limits _{t_{0\sup}}^{t_{k\sup}}\big(1 +T_s^2U_k^2\big)dt,\qquad
(2.27)$$который включает в себя критерий быстродействия и критерий энергозатрат, имеющих важное прикладное значение в различных задачах управления.
Разумеется, что построенные критерии (2.24), (2.25), (2.26) и (2.27) обеспечивают в режимах больших отклонений только субоптимальные процессы, в той или иной мере сходные с оптимальными процессами. Однако здесь важно подчеркнуть, что соответствующим выбором функций $\psi_s$ (2.22), (2.23) и $\phi_s(\psi_s)$ можно удовлетворить разнообразные требования к динамическим свойствам синтезируемых систем.
Итак, введение СОФ (2.21) носит достаточно естественный характер в отношении отражения динамических свойств синтезируемых систем и вполне согласуется с распространенными требованиями к их качеству в различных режимах движения.
Для построения функциональных уравнений, помимо СОФ (2.21), могут быть применены также и другие критерии теории оптимального управления. Так, например, используя критерий быстродействия [40], можно получить следующие уравнения:
— при двухканальном управлении ($m=2$):
$$
\dot \psi_1(t)=\psi_2; \quad \dot \psi_{21}(t)=-U_{\psi\max}\mathrm{sign}\,\mu(\psi_1,\psi_2),
$$где $\mu(\psi_1,\psi_2)=\psi_1 +\dfrac{0,5}{U_{\psi\max}}\psi_2|\psi_2|$;
— при трехканальном управлении ($m=3$):
$$
\dot \psi_1(t)=\psi_2, \quad \dot\psi_2(t)=\psi_{32}\quad \dot \psi_{3}(t)=-U_{\psi\max}\mathrm{sign}\,\mu(\psi_1,\psi_2,\psi_3),
$$ где $\mu(\psi_1,\psi_2,\psi_3)=\psi_1+\dfrac 13|\psi_3|(2\psi_2+\psi_3|\psi_3|)+(\psi_2+0,5\psi_3|\psi_3|)\sqrt{\big|\psi_2+0,5\psi_3|\psi_3|\big|}.$
В этом случае ИТ системы сначала за минимальное время, определяемое величиной $U_{\psi\max}$, попадает на соответствующее подмногообразие пересечений $\mu=0$, а затем будет двигаться вдоль него вплоть до попадания на желаемое финишное многообразие. Выбор величины $U_{\psi\max}$ может быть произведен, исходя, например, из конфликтно-игровой постановки задачи подавления “внутренних” возмущений, т.е. построения гарантирующего управления движением ИТ к пересечению многообразий. При этом функциональные уравнения имеют математически конечное время попадания ИТ на пересечение многообразий $\psi_s=0$ синтезированной системы.
Аналогичные уравнения можно построить на основе формы (2.18), используя такие нелинейные функции $\phi_s(\psi_s)$, которые обладают свойством недифференцируемости в нулевой точке. В частности, можно выбрать следующие уравнения:
$$
T_s\dot\psi_s(t) +\psi_s^{\frac{1}{2\rho+1}}=0,\quad \rho=1,2,\dots\qquad
(2.28)$$
При $\rho\to\infty$ уравнения (2.28) стремятся к виду
$$
T_s\dot\psi_s(t) +\mathrm{sign}\psi_s=0.\qquad
(2.29)$$При этом функционал (2.21) вырождается в форму
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty\psi_s^rdt,
$$когда неизбежен скользящий режим движения вдоль многообразий $\psi_s=0$.
В целом из (2.28), (2.29) следует, что в определенный момент времени ИТ математически точно попадает на пересечение многообразий $\psi_s=0$, а затем может возникнуть скользящий режим движения. Аналогично, используя другие критерии качества, можно построить соответствующие функциональные уравнения.
В заключение отметим, что форма СОФ (2.21) наиболее удобна для задач управления нелинейными объектами, математические модели которых представлены системами дифференциальных уравнений первого порядка. При управлении рядом распространенных объектов более подходящими могут оказаться и другие известные формы моделей, в частности в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка. Примером могут служить математические модели механических систем, которые обычно эквивалентно записываются на основе второго закона Ньютона или формализма Лагранжа. В этих случаях целесообразно несколько модифицировать форму функциональных уравнений (2.18) метода АКАР, представив их , например, в следующем виде:
$$
T_s^2\ddot\psi_s(t) +\phi_s(\dot\psi_s) +f_s(\psi_s)=0,\quad s=1,2,\dots,m,\qquad
(2.30)$$где $m$ — размерность вектора управления. Этим уравнениям можно дать ясную энергомеханическую интерпретацию [62]. Будем считать, что уравнения (2.30) описывают движение некоторой совокупности связанных материальных точек, находящихся под действием нелинейных восстанавливающих сил $\phi_s(\dot\psi_s)$. При этом параметру $T_s^2$ можно полагать аналогом массы материальных точек. Тогда, согласно [62], запишем полную энергию системы в следующем виде:
$$
v_s=0,5\dot\psi_s^2 +\frac{1}{T_s^2}\int\limits_0^{\psi_s}f(\psi_s)d\psi_s.
$$В этом выражении первый член в правой части означает кинетическую энергию, а второй — потенциальную энергию системы. При отсутствии сопротивления внешней среды функция $\phi_s(\dot\psi_s)=0$ и, следовательно, согласно закону сохранения энергии, система (2.30) будет иметь первый интеграл $v_s=const$. Однако в реальных условиях механическая энергия в процессе движения системы из-за сопротивления внешней среды, как известно, переходит в тепловую энергию. Это означает, что функция $v_s$ с необходимостью убывает вдоль траекторий движения системы (2.30). Для того, чттобы это показать продифференцируем $v_s$ по времени:
$$
\dot v_s(t)=\left[\ddot\psi_s(t) +\frac{1}{T_s^2}f_s(\psi_s)\right]\dot\psi_s(t),
$$т.е. в силу уравнений системы (2.30) имеем
$$
\dot v_s(t)=-\frac{1}{T_s^2}\phi_s(\dot\psi_s)\dot\psi_s(t).
$$Отсюда непосредственно следует, что при $\phi_s(\dot\psi_s)\dot\psi_s(t)>0$ производная $\dot v_s(t)\le 0$, т.е. в этом случае общая энергия системы (2.30) убывает. Очевидно, чтобы функция $v_s$, отражающая энергию системы, была определенно положительной, необходимо выполнить неравенство $f_s(\psi_s)\psi_s>0$. Если же предположить, что $\phi_s(\dot\psi_s)=0$, то тогда производная $\dot v_s(t)= 0$ и, следовательно, $v_s=const$, т.е. при отсутствии сопротивления внешней среды система (2.30) действительно имеет первый интеграл, соответствующий закону сохранения энергии в изолированной механической системе.
Итак, согласно [62], условия асимптотической устойчивости в целом системы (2.30) относительно положения $\psi_s=\dot\psi_s(t)=0$ имеют следующий вид:
$$
\begin{array}{llcl}
\text{а)}& f(\psi_s)\psi_s>0 &\text{при}& \psi_s\neq 0;\\
\text{б)}& \phi_s(\dot\psi_s)\dot\psi_s(t)>0 &\text{при}& \dot\psi_s(t)\neq 0;\\
\text{в)}& \int\limits_0^{\psi_s}f_s(\psi_s)d\psi_s\to\infty &\text{при}& |\psi_s|\to\infty.
\end{array}
$$Выполнение этих условий в соответствии с методом АКАР обеспечивает неизбежный перевод изображающей точки синтезируемой системы управления на пересечение инвариантных многообразий $\psi_s(x_1,\dots,x_n)=0$ и $\dot\psi_s(x_1,\dots,x_n,\dot x_1,\dots,\dot x_n)=0$ в ее фазовом пространстве.
Очевидно, что функциональные уравнения (2.30) доставляют безусловный экстремум следующему СОФ:
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty\left[\lambda_{2s}\ddot\psi_s^2(t)+\lambda_{1s}\varphi_s^2(\dot\psi_s)
+f_s^2(\psi_s)\right]dt,\qquad
(2.31)$$
где $\lambda_{ks}$ — некоторые весовые коэффициенты, непосредственно связанные с коэффициентами уравнений (2.30).
Для линейного случая уравнения (2.30) и СОФ (2.31) принимают соответственно вид:
$$
\ddot\psi_s(t) +\alpha_{1s}\dot\psi_s(t) +\alpha_{0s}=0
$$и
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty\big[\lambda_{2s}\ddot\psi_s^2(t)+\lambda_{1s}\dot\psi_s^2(t)+\psi_s^2 \big]dt,
$$где коэффициенты $\alpha_{ks}$ и $\lambda_{ks}$ связаны между собой следующими соотношениями:
$$
\lambda_{1s}=\alpha_{1s}^2 -2\alpha_{0s}; \quad \lambda_{2s}=\alpha_{2s}^2.
$$Заметим, что в силу асимптотических свойств функций $\psi_s(t)\to 0$ и $\dot\psi_s(t)\to 0$ при $t\to\infty$ в этом случае, как известно, квадратичный СОФ можно также записать в следующей эквивалентной
форме:
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty\big[\ddot\psi_s(t) +\lambda_{1s}\dot\psi_s +\lambda_{0s}\psi_s\big]^2dt +c_s,
$$где $c_s$ — некоторые постоянные, не влияющие на экстремум СОФ.
Аналогично минимизация СОФ $J_\Sigma$ (2.21) равносильна минимизации функционала
$$
J_\Sigma=\int\limits_0^\infty\big[T_s\dot\psi_s(t) +\psi_s\big]^2dt +c_s.
$$Это означает, что в линейном случае оптимизирующие функционалы $J_\Sigma$ (2.21) и $J_\Sigma$ (2.31) могут быть представлены в виде известных интегральных квадратичных оценок в динамике систем.
Итак, здесь показано, что функциональным уравнениям вида (2.30) можно дать ясное физическое толкование. Напомним, что и уравнения (2.18) имеют также очевидную физическую интерпретацию, в частности, как инвариантные отношения классической механики. Разумеется, что для сложных, например, электромеханических систем в общем случае может оказаться целесообразным использование некоторых комбинаций форм функциональных уравнений первого (2.18) и второго (2.30) порядков и соответствующих им оптимизирующих функционалов.
Рассмотренные выше функционалы (2.21) и (2.31) заранее, вообще говоря, не постулируются, а имеют сопровождающий характер. Эти функционалы в синергетическом подходе,вообще говоря, не играют определяющей роли. Однако развиваемый здесь подход, основанный на введении притягивающих инвариантных многообразий, позволяет выявить новые важные особенности и в теории оптимального управления [149].
Установленная в [31] глубокая обобщающая связь с основными методами теории оптимального управления показывает фундаментальную обоснованность развиваемой здесь теории АКАР и ее важную роль в проблеме синтеза систем управления нелинейными динамическими объектами.