Модуль 3. Синергетический синтез векторных регуляторов

3.1. Общие положения

Поставим теперь задачу объединения описанных выше методов последовательного и параллельного введения совокупности притягивающих многообразий в некоторый обобщенный метод, сохраняющий преимущества обоих методов [61].

Предположим, что движение объекта описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
$$
\begin{aligned}
\dot x_i(t) &=f_i(x_1,\dots,x_n), &\quad i &=1,2,\dots,p;\\
\dot x_j(t) &=f_j(x_1,\dots,x_j) +a_{j+1}x_{j+1}, &\quad j &=p+1,\dots,\mu;\\
\dot x_s(t) &= f_s(x_1,\dots,x_j) +b_su_s, &\quad s &=\mu +1,\dots,n,
\end{aligned}\qquad
(3.1)$$где $x_1,\dots,x_n$ — координаты состояния объекта; $f(\cdot)$ — непрерывные дифференцируемые функции.

Перейдем к краткому описанию процедуры синтеза законов управления $u_s(x_1,\dots,x_n)$. Сначала синтезируются “внешние” управления $u_s(x_1,\dots,x_n)$ по ранее изложенной методике. При этом следует выбирать одну из агрегированных макропеременных в виде
$$
\psi_s=\sum_{k=1}^n \beta_{sk} + \varphi_s(x_1,\dots,x_\mu).\qquad
$$Тогда управления $u_s(x_1,\dots,x_n)$ будут обеспечивать перевод ИТ из произвольного начального состояния в фазовом пространстве в окрестность многообразия пересечения
$$
\psi_{12\dots\mu}\sum_{k=1}^\mu \xi_{sk}x_k + b_{s\mu}\varphi_s(x_1,\dots,x_\mu)=0,
$$движение вдоль которого описывается системой уравнений
$$
\begin{split}
\dot x_i(t) &=f_i(x_1,\dots,x_n), \quad i =1,2,\dots,p;\\
\dot x_j(t) &=f_j(x_1,\dots,x_j) - \frac{a_{\mu+1}}{\xi_{\mu+1}}\sum_{k=1}^\mu \xi_{sk}x_k -\frac{b_{s\mu}a_{\mu+1}}{\xi_{\mu+1}}\varphi_s(x_1,\dots,x_\mu).
\end{split}\qquad
(3.2)$$Размерность системы (3.2) равна $\mu$. Обозначив первое внутреннее управление
$$
u_{\mu 1}=\frac{b_{s\mu}a_{\mu+1}}{\xi_{\mu+1}}\varphi_s(x_1,\dots,x_\mu),
$$синтезируем закон управления, который переводит ИТ в окрестность первого притягивающего подмногообразия
$$
\psi_{\mu 1}=\sum_{k=1}^{\mu-1}\alpha_{1k}x_k +\varphi_{\mu 1}(x_1,\dots,x_{\mu -1})=0.
$$Размерность подмногообразия $\psi_{\mu 1}$ на единицу меньше размерности многообразия пересечения $\psi_{1\dots\mu }$. Далее, обозначив второе внутреннее управление
$$
u_{\mu 2}=\frac{a_\mu}{\alpha_{\mu-1}}+\varphi_{\mu 1}(x_1,\dots,x_{\mu -1}),
$$можно, в свою очередь, синтезировать закон управления $u_{\mu 2}(x_1,\dots,x_{\mu -1})$, обеспечивающий перевод ИТ на следующее подмногообразие:
$$
\psi_{\mu 2}=\sum_{k=1}^{\mu-2}\alpha_{2k}x_k +\varphi_{\mu 2}(x_1,\dots,x_{\mu -2})=0.
$$В дальнейшем указанный процесс продолжается аналогично описанным ранее процедурам. При этом осуществляется последовательное введение притягивающих подмногообразий понижающейся размерности. На последнем этапе движение осуществляется вдоль следующего притягивающего подмногообразия:
$$
\psi_{\mu p}=\sum_{k=1}^{\mu-p}\alpha_{pk}x_k +\varphi_{\mu p}(x_1,\dots,x_{\mu -p})=0.
$$Подставив из уравнений $\psi_{1\dots\mu}=0,\dots,\psi_{\mu p}=0$ координаты $x_\mu,x_{\mu-1},\dots$ в первые $p$ уравнений объекта (3.1), получим систему дифференциальных уравнений
$$
\dot x_i(t)=f_i(x_1,\dots,x_p), \quad i=1,2,\dots,p,
$$описывающих движение вдоль последнего подмногообразия $\psi_{\mu-p+1}=0$ к началу координат фазового пространства. Выбором соответствующих функций $\varphi_s$, $\varphi_{\mu 1},\dots,\varphi_{\mu p}$ и коэффициентов $\beta_{sk}$, $\alpha_{1k},\dots,\alpha_{pk}$ можно обеспечить асимптотическую устойчивость и требуемые динамические свойства синтезируемой системы.

Итак, изложенный обобщенный метод аналитического конструирования базируется на двух основных процедурах: во-первых, синтезе управлений $u_s(x_1,\dots,x_n)$, обеспечивающих перевод ИТ на многообразие пересечений $\psi_{1\dots\mu}=0$, и, во-вторых, синтезе внутренних управлений
$$
u_\mu(x_1,\dots,x_\mu),\dots,u_{\mu-p+1}(x_1,\dots,x_{\mu-p+1}),
$$последовательно переводящих ИТ с многообразия пересечения $\psi_{1\dots\mu}=0$ на первое притягивающее подмножество $\psi_{\mu 1}=0$, затем на второе $\psi_{\mu 2}=0$ и т.д., вплоть до последнего подмногообразия $\psi_{\mu p}=0$. В результате выполнения указанных процедур сначала осуществляется параллельное введение $s$ многообразий, а затем — последовательное введение совокупности из $\mu-p$ притягивающих подмногообразий в фазовом пространстве систем.

Для объектов (3.1) при $p=0$, т.е. описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений
$$
\begin{aligned}
\dot x_j(t) &=f_j(x_1,\dots,x_j) +a_{j+1}x_{j+1}, &\quad j &=1,2,\dots,\mu;\\
\dot x_s(t) &=f_s(x_1,\dots,x_n) +b_su_s, &\quad s &=\mu +1,\dots,n,
\end{aligned}\qquad
(3.3)$$имеющей треугольную функциональную матрицу вплоть до $\mu$-й координаты, можно путем введения параллельно-последовательной совокупности притягивающих многообразий аналитически синтезировать управления $u_s(x_1,\dots,x_n)$, гарантирующие асимптотическую устойчивость в целом, апериодический характер переходных процессов и ряд других свойств замкнутой системы. В этом случае сначала параллельно вводится $s$ многообразий $\psi_s=0$ и в соответствии с изложенным выше методом АКАР находятся управления $u_s$. При этом одну из макропеременных $\psi_s$ следует выбирать в виде
$$
\psi_s=\sum_{k=1}^n \beta_{sk}x_k + \varphi_s(x_1,\dots,x_\mu).
$$Тогда управления $u_s(x_1,\dots,x_n)$ обеспечат перевод ИТ из произвольного начального состояния в окрестность пересечения многообразий
$$
\psi_{1-p}=\sum_{k=1}^\mu \alpha_{sk}x_k +b_{p+1}\varphi_s(x_1,\dots,x_\mu)=0,
$$движение вдоль которого описывается системой уравнений
$$
\dot x_j(t)=f_j(x_1,\dots,x_j) -\frac{a_{\mu+1}}{\alpha_{\mu+1}}\sum_{k=1}^\mu \alpha_{sk}x_k -\frac{\beta_{p+1}a_{\mu+1}}{\alpha_{\mu+1}}\varphi_s.\qquad
(3.4)$$Размерность системы (3.4) равна $\mu$. Для синтеза внутренних управлений подобъектом (3.4) теперь можно ввести последовательную совокупность притягивающих подмногообразий понижающейся размерности. Для этого следует сначала ввести 1-е притягивающее многообразие в $\mu$-фазовом подпространстве:
$$
\psi_{\mu 1} =\sum_{k=1}^\mu \gamma_{1k}x_k +\varphi_{\mu 1}(x_1,\dots,x_{\mu-1})=0\qquad
(3.5)$$и, в соответствии с выражениями (2.44)—(2.50), синтезировать внутренние управления $\varphi_s(x_1,\dots,x_k)$, переводящие ИТ в окрестность подмногообразия $\psi_{\mu 1}=0$ (3.5), движение вдоль которого описывается системой дифференциальных уравнений уже размерности $\mu-1$, затем найти следующее внутреннее управление и т.д. При этом осуществляется последовательное введение притягивающих подмногообразий
понижающейся размерности. Выбором соответствующих управлений для нелинейных подобъектов (3.5) и, следовательно, объектов (3.3) можно всегда гарантировать асимптотическую устойчивость движения в целом, апериодический характер переходных процессов и ряд других важных свойств синтезируемых нелинейных систем.

Для конкретности приведем основные соотношения для объекта вида (3.3) с двумя управлениями:
$$
\begin{split}
\dot x_j(t) &=f_j(x_1,\dots,x_j) +a_{j+1}x_{j+1}, \quad j =1,2,\dots,\mu=n-2;\\
\dot x_{n-1}(t) &=f_{n-1}(x_1,\dots,x_n) + b_2u_{n-1};\\
\dot x_n(t) &=f_n(x_1,\dots,x_n) +b_1u_n.
\end{split}\qquad
(3.6)$$Введем параллельно два многообразия:
$$
\begin{split}
\psi_1 &=\sum_{k=1}^n\beta_{1k}x_k +\varphi_1(x_1,\dots,x_{n-2})=0;\\
\psi_2 &=\sum_{k=1}^n\beta_{2k}x_k=0,
\end{split}\qquad
(3.7)$$тогда получим управления:
$$
\begin{split}
Bb_1u_n = &-\sum_{k=1}^{n-2}\left(\beta_{2n}\beta_{1k} -\beta_{1n}\beta_{2k} + \beta_{2n}\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_k}\right)\big[f_n(x_1,\dots,x_k) +\\
&+ a_{k+1}x_{k+1}\big] -Bf_{n-1} -\frac{\beta_{2n}}{T_1}\psi_1 +\frac{\beta_{1n}}{T_2}\psi_1;
\end{split}\qquad
(3.8)$$
$$
\begin{split}
Bb_2u_{n-1}=&-\sum_{k=1}^{n-2}\left(\beta_{2,n-1}\beta_{1k} -\beta_{1,n-1}\beta_{2k} + \beta_{2n}\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_k}\right)\big[f_n(x_1,\dots,x_k) +\\
&+ a_{k+1}x_{k+1}\big] -Bf_{n-1} -\frac{\beta_{2,n-1}}{T_1}\psi_1 +\frac{\beta_{1,n-1}}{T_2}\psi_1,
\end{split}\qquad
(3.9)$$где $B=\beta_{1,n-1}\beta_{2n}-\beta_{1n}\beta_{2,n-1}$, которые переводят ИТ на пересечение многообразий (3.7):
$$
\psi_{1-2}=\sum_{k=1}^{n-1}\big(\beta_{1n}\beta_{2k} - \beta_{2n}\beta_{1k}\big)x_k - \beta_{2n}\varphi_1(x_1,\dots,x_{n-2})=0.\qquad
(3.10)$$Найдя из уравнения (3.10) координату
$$
x_{n-1}=\frac 1B\sum_{k=1}^{n-2}\big(\beta_{1n}\beta_{2k} - \beta_{2n}\beta_{1k}\big)x_k - \frac{\beta_{2n}}B \varphi_1
$$и подставив ее в (3.6), получим систему уравнений
$$\begin{split}
\dot x_j(t) &=f_j(x_1,\dots,x_j) +a_jx_{j+1}, \quad j=1,2,\dots,n-3;\\
\dot x_{n-2}(t) &=f_{n-2}(x_1,\dots,x_{n-2})% +\\
+\frac{a_{n-1}}{B} \sum_{k=1}^{n-2}\big(\beta_{1n}\beta_{2k} - \beta_{2n}\beta_{1k}\big)x_k - \frac{\beta_{2n}a_{n-1}}B \varphi_1,
\end{split}\qquad
(3.11)$$которая описывает движение ИТ вдоль $\psi_{1-2}$ (3.10). Введем теперь последовательно подмногообразия
$$\begin{split}
\psi_{\mu 1} &=\sum_{k=1}^{n-2} \gamma_{1k}x_k + \varphi_2(x_1,\dots,x_{n-3})=0,\\
\dots\dots &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots,\\
\psi_{\mu,n-3} &= \gamma_{n-3,1}x_1 +\gamma_{n-3,2}x_2 +\varphi_{n-1}(x_1)=0
\end{split}\qquad
(3.12)$$и, в соответствии с методами АКАР, найдем управление подобъектом $\varphi_1(x_1,\dots,x_{n-2})$ (3.11), затем управление $\varphi_2(x_1,\dots,x_{n-3})$ следующим подобъектом и т.д., вплоть до управления $\varphi_{n-1}(x_1)$, обеспечивающего желаемые свойства движения ИТ на последнем интервале к началу координат фазового пространства. Подставив $\varphi_{n-1},\dots,\varphi_1$ из (3.12) в (3.8) и (3.9), найдем управления $u_{n-1}(x_1,\dots,x_n)$ и гарантирующие асимптотическую устойчивость движения в целом, заданное время и характер (апериодический) затухания переходных процессов в синтезируемой системе управления исходным объектом (3.6). Аналогичным образом можно найти соответствующие управления объектами (3.3) при трех и большем числе управлений.

Таким образом, изложенный здесь обобщенный метод АКАР с несколькими управлениями базируется на двух основных процедурах: во-первых, синтезе управлений $u_{s}(x_1,\dots,x_n)$, обеспечивающих перевод ИТ в окрестность пересечения многообразий $\psi_s=0$, и, во-вторых, синтезе внутренних управлений $\varphi_1(x_1,\dots,x_{n-2}),\dots,\varphi_{n-1}(x_1)$, последовательно переводящих ИТ в окрестность первого подмногообразия $\varphi_{\mu 1}=0$, затем второго $\varphi_{\mu 2}=0$ и т.д., вплоть до ее попадания в начало координат фазового пространства.