Модуль 1. Принцип динамического расширения—сжатия фазового пространства в теории управления

1.6. Принцип эквивалентности в системах управления

Описанное выше свойство сжатия фазового объема в динамических системах в большей мере опиралось на математические (геометрические) представления по сравнению с его физическим содержанием. Попытаемся теперь, используя известные общенаучные концепции, выявить физические первопричины указанного свойства, которое относится к одному из базовых элементов развиваемой в этой книге синергетической теории управления.

В современной науке известны многие взаимосвязи между природными явлениями, которые называют эквивалентностями, или принципом компенсации [50]. Суть этого принципа состоит в том, что изменение какой-либо физической величины непременно приводит к возникновению некоторой другой физической величины. Кроме того, наличие производной от процесса изменения одного явления обязательно приводит к новому, более высокому этапу возникновения следующего физического явления. Другими словами, природе присуще фундаментальное свойство “компенсации” одного физического параметра путем появления другого параметра со своими признаками. Принцип компенсации (эквивалентности) относится к всеобщим физическим принципам, которые определяют развитие различных природных процессов. В математическом плане принцип компенсации отражается в виде различных дифференциальных уравнений, описывающих соответствующие физические явления и взаимосвязи между ними.

Итак, в природе всегда существует многомерная связь различных физических (химических, биологических) явлений, которая непрерывно проявляется в возникновении одних величин за счет изменения других. Движение материи и термодинамические процессы порождают новые формы, которые, в свою очередь, могут рождать другие формы и т.д. По существу, можно представить так, что через принцип компенсации природа сохраняет саму себя, какие бы процессы в ней не происходили. Это общенаучная концепция, основанная на динамическом подходе к природным явлениям. В работе [50] описанные выше явления компенсации предложено назвать общим законом сохранения.

Наиболее очевидным проявлением принципа компенсации (эквивалентности) является третий закон Ньютона, т.е. равенство действия и противодействия. Другим примером принципа эквивалентности служит равенство инерционной и гравитационной масс, что позволило Ньютону создать классическую механику. Следующим важным примером является эквивалентность между гравитационным полем и “полем ускорения”, что дало основание Эйнштейну построить релятивистскую физику. Можно привести и другие примеры справедливости принципа эквивалентности в различных физических процессах. Следует, однако, отметить, что наличие равенства между некоторыми физическими характеристиками является только простейшим проявлением принципа эквивалентности на некотором определенном уровне. Более сложные взаимосвязи возникают при переходе через указанный уровень, когда принцип эквивалентности продолжает сохранять свою силу, но приобретает уже более широкое свойство соответствия, т.е. некоторой динамической пропорциональности, а не просто как определенное равенство.

Итак, природные системы обладают общим фундаментальным свойством, а именно: изменение любой физической сущности обязательно порождает новую физическую сущность, например в механике изменение скорости приводит к возникновению ускорения, в электротехнике изменение напряженности электрического поля порождает электромагнитное поле и т.д. Другими словами, в природных системах образуется цепь эволюции, приводящая к многообразию физических явлений.

Указанные законы эквивалентности (компенсации) применяются во многих науках в явном виде или косвенно для анализа процессов в звеньях всей цепи эволюции соответствующей природной системы, когда в каждом звене (подсистеме) выполняется равенство действия и противодействия с обязательным подчинением соответствующему закону сохранения [50]. Данное равенство отражает свойство эквивалентности указанных характеристик, в то время как каждая из них имеет свою физическую природу. И эти свойства, похоже, как раз и необходимы природе для сохранения самой своей сущности. С особой силой проявляется фундаментальное значение принципа эквивалентности в явлении самоорганизации нелинейных диссипативных систем, которое состоит в образовании коллективных связей — синергий. Именно свойства эквивалентности и самоорганизации используются в развиваемой здесь синергетической теории управления, которая базируется на концепции управляемого динамического взаимодействия вещества, энергии и информации в системах управления объектами различной природы.

Покажем теперь конкретно справедливость свойства эквивалентности (сохранения) в задачах управления нелинейными объектами. Оказывается, что с этим свойством связано описанное ранее явление сжатия фазового объема в динамических системах. В качестве примера рассмотрим задачу управления объектом, движение которого описывается следующими нелинейными дифференциальными уравнениями:
$$
\begin{split}
\dot x_1(t)&=f_1(x_1,x_2)+a_{13}x_3+a_{14}x_4;\\
\dot x_2(t)&=f_2(x_1,x_2)+a_{23}x_3+a_{24}x_4;\\
\dot x_3(t)&=f_3(x_1,\dots,x_4)+u_3;\\
\dot x_4(t)&=f_4(x_1,\dots,x_4)+u_4.
\end{split}\qquad
(1.26)$$Из (1.26) следует, что управления $u_3$ и $u_4$ непосредственно действуют на производные $\dot x_3(t)$ и $\dot x_4(t)$ соответственно и, следовательно, на функции $v_1=x_3(t)$ и $v_2=x_4(t)$, которые, в свою очередь, могут быть выбраны в качестве “внутренних” управлений, определяющих характер изменения координат $x_1(t)$ и $x_2(t)$. Управления $u_3$ и $u_4$ количественно не исчезают, а “превращаются” во внутренние управления $v_1=x_3(t)$ и $v_2=x_4(t)$, в конечном итоге формирующие поведение координат $x_1$ и $x_2$ объекта. Внутренние управления $v_1$, $v_2$, в свою очередь, действуют на подсистему пониженной размерности $(n-m=2)$, определяемую первым и вторым уравнениями (1.26). Для этой подсистемы можно поставить свою, внутреннюю задачу управления.

Выявленные здесь структурные особенности динамических систем позволяют сформулировать следующий принцип эквивалентности (сохранения) управлений: в любом процессе управления движением, т.е. при переводе объекта из начального состояния в конечное, управления $u_j$, действующие на соответствующие производные координат $\dot x_j(t)$, не исчезают (не разрушаются), а превращаются во внутренние (промежуточные) управления $(v_j=x_j)$ подобъектами последовательно понижающейся размерности.

Выделенное общее свойство эквивалентности включает в себя два важных взаимосвязанных свойства процессов управления динамическими объектами: во-первых, свойство сохранения, согласно которому управления, подаваемые на соответствующие входы исходного объекта, в дальнейшем не исчезают и не разрушаются, и, во-вторых, свойство превращения, когда управления, проходя соответствующие динамические звенья объекта, преобразуются в некоторые “внутренние” управления $v_j$ под объектами понижающейся размерности, что свидетельствует о процессе сжатия фазового объема синтезируемой системы. При этом размерность вектора $V_j$ внутренних управлений всегда совпадает с размерностью вектора $u_j$, исходных (внешних) управлений, т.е. $\dim \mathbf u =\dim \mathbf V$. Указанное свойство эквивалентности (сохранения) управлений базируется на идее взаимопревращения управлений и координат, в результате чего происходит сжатие фазового потока в процессе его протекания через данное динамическое звено замкнутой системы.

В заключение следует упомянуть о том, что в теории управления понятиям “координаты” и “управление” обычно придается заметно разный смысл. Считается, что управление представляет собой что-то главное, доминирующее, а координаты — нечто второстепенное, т.е. что управление — суть причина, а изменение координат — ее следствие. Формально это действительно так, но, как показано выше, между управлениями и координатами существует всегда внутренняя динамическая иерархия и дуальная взаимосвязь, позволяющая исходным, внешним управлениям преобразовываться в соответствующие координаты — внутренние (промежуточные) управления замкнутой системы. Это обстоятельство целесообразно учитывать пря синергетическом синтезе нелинейных систем, тем более что реальные достаточно сложные технические объекты обычно состоят из последовательно-параллельного соединения локальных подобъектов, у каждого из которых трудно провести резкую грань между управлениями и координатами. В частности, внутренние управления локальными подобъектами являются координатами состояния общего объекта.

Изложенные в данном модуле соображения показывают, что в синергетической теории управления нелинейными динамическими объектами целесообразно выделить два важных общих принципа, а именно: принцип расширения-сжатия фазового объема и принцип эквивалентности (сохранения) управлений. Эти принципы положены в основу синергетического метода синтеза нелинейных систем управления.