Модуль 1. Принцип динамического расширения — сжатия фазового пространства в теории управления

1.4. Инвариантные многообразия в естествознании и технике

Инварианты присущи процессам и явлениям любой природы — физической, химической, биологической. Остановимся здесь в основном на выявлении инвариантных многообразий в более узких областях науки — в теории нелинейных колебаний и теории управления, сравнивая их особенности со свойствами природных (экологических) систем.

Многие задачи теории нелинейных колебаний сводятся к изучению нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Исследование таких уравнений значительно упрощается, если с помощью специальных замен эти уравнения могут быть усреднены. Оказывается, что во многих случаях усредненные уравнения обладают инвариантными многообразиями тороидального типа, которые имеют определенные свойства и могут находиться в достаточно малой окрестности интегральных многообразий исходных точных уравнений. Применение метода интегральных многообразий позволяет значительно упростить качественное исследование решений системы, если они лежат на многообразии меньшей размерности, чем исходное фазовое пространство. Метод интегральных многообразий дает также возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения. Основная идея в методе интегральных многообразий состоит в сведении процесса высокой размерности к последовательности некоторых процессов более низкой размерности.

В настоящее время методы теории интегральных многообразий получили в нелинейной механике широкое развитие и обобщение в задачах исследования разнообразных динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Так, в работах [18, 19] были получены новые результаты по устойчивости и бифуркации инвариантных многообразий специального вида при исследовании стационарных движений механических (неуправляемых) систем с первыми интегралами, что позволило существенно продвинуться в изучении качественных свойств движений твердого тела. В работе [2] метод интегральных многообразий используется для исследования задачи о разделении быстрых и медленных движений гироскопических систем, описываемых сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, и задачи о выделении медленной составляющей движения. Применительно к задачам динамики твердого тела в [20, 21, 22] на основе теории инвариантных соотношений предпринята попытка решения сложной задачи выявления условий управляемости и наблюдаемости нелинейных систем.

В целом ряде работ [23, 24, 25, 26] в последнее время было показано, что для естественных (природных) динамических систем характерно наличие некоторых поверхностей притяжения — инвариантных многообразий в фазовом пространстве. Такие установившееся режимы получили название аттракторов, т.к. они “притягивают” соседние режимы. Аттрактор — это притягивающее множество в фазовом пространстве, т.е. асимптотически устойчивое множество. Аттракторы, отличные от состояний равновесия и строго периодических колебаний, получили название странных аттракторов. Внутри таких аттракторов траектории блуждают нерегулярным образом и являются весьма чувствительными к изменению начальных условий.

Из последних работ по исследованию аттракторов нелинейных моделей систем следует, что для многих природных систем характерен режим движения по некоторым многообразиям в их пространстве состояний. Так, в природных системах, например водохранилищах [27], пременные, характеризующие их состояние, стремятся к таким значениям, которые соответствуют некоторым соотношениям (уравнениям баланса), т.е. инвариантным многообразиям в их пространстве состояний. Существуют также аналогичные связи, накладываемые непосредственно не на переменные состояния, а на скорость их изменения. В этом плане природные системы во многом существенно отличаются от обычных систем управления, для которых значение каждой переменной определяется задающим воздействием, т.е. в их фазовом пространстве имеется “установочная точка”. По своим задачам функционирования с природными системами, по-видимому, наиболее сходен один из особых типов систем управления — системы координирующего управления, для которых характерно регулирование соотношений в течение переходного процесса. В природных системах наличие инвариантных многообразий обусловлено необходимостью выполнения законов сохранения, например закона сохранения массы, а в технических системах существование задаваемых инвариантных многообразий должно обеспечиваться самой процедурой синтеза законов управления соответствующими динамическими объектами.

Природные системы, в отличие от технических, обладают целым рядом свойств, весьма необычных с точки зрения современной теории управления, например для природных систем не существует известного “проклятия размерности”, которое в настоящее время приводит к существенным, а в случае нелинейных технических систем — к принципиальным затруднениям в отношении проблем обеспечения их асимптотической устойчивости и желаемого качества, а также синтеза и практической реализации регулятора. Оказывается также, что в природных системах качество функционирования может даже повышаться при расширении разнообразия входящих в них подсистем (например, разброса их параметров) и, более того, указанное разнообразие, как правило, играет стабилизирующую роль [27]. В то же время известно, что в сложных технических системах управления подобное свойство обычно ведет к ухудшению их качества. В связи с отмеченными замечательными свойствами природных систем представляется весьма полезным и перспективным для развития современной теории управления осуществить попытку переноса этих свойств на конструируемые системы управления техническими, в первую очередь нелинейными, объектами. Ранее уже отмечалось, что для многих природных систем основная цель функционирования состоит в \textit{стабилизации соотношений} между их переменными состояния. Математическим следствием этого факта является вырожденность их уравнений динамики и наличие интегральных инвариантов, т.е. некоторых инвариантных многообразий в пространстве состояний. Именно это свойство целесообразно положить в основу развиваемой в данной книге методологии синергетического синтеза нелинейных систем управления.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные примеры явного или косвенного использования инвариантных многообразий в задачах управления техническими объектами. Первым примером может служить синтез систем управления, оптимальных по быстродействию [28], в которых задача синтеза, как известно, сводится к определению гиперповерхности переключения $\mu(x_1,\dots,x_n)$, которая разделяет фазовое пространство на подпространство c положительным $(u(t)=+u_{\max})$ и подпространство с отрицательным $(u(t)=-u_{\max})$ максимальным управляющим воздействием, т.е. на $\mu=0$ происходит переключение знака управлений. Многообразие $\mu(x_1,\dots,x_n)$ и является инвариантным для замкнутой оптимальной по быстродействию системы. При оптимальном по быстродействию процессе изображающая точка сначала движется по многообразию размерности $n$, затем $n-1$ и т.д., вплоть до многообразия единичной размерности, т.е. одномерной линии в фазовом пространстве, двигаясь вдоль которой на последнем интервале управления она попадает в начало координат, т.е. на многообразие нулевой размерности. Таким образом, при оптимальном по быстродействию управлении происходит последовательное понижение размерности фазового пространства движений изображающей точки системы. Именно эта особенность оптимальных по быстродействию процессов [28] во многом натолкнула автора на идею синтеза систем управления с использованием притягивающих многообразий понижающейся размерности, которая положена в основу развиваемых в этой книге методов АКАР.

Другим примером применения инвариантных многообразий служит синтез систем с переменной структурой [29, 30, 31, 32], отличающихся тем, что в их фазовом пространстве вводится некоторая гиперплоскость переключений, движение вдоль которой происходит в скользящем режиме. Эта гиперплоскость и является инвариантным многообразием в фазовом пространстве. Применение теории инвариантных многообразий непосредственно к техническим объектам связано, в частности, с задачами координирующего управления. К такого рода объектам, например, относятся станки с программным управлением, манипуляционные и транспортные роботы, технологические линии прокатки металлов и материалов, бумагоделательные машины и системы транспортировки ленточного материала, крановые механизмы, летательные аппараты в общем строю, энергоблоки, работающие на общую нагрузку, и т.д. [33, 34, 35]. Для этих объектов важнейшим функциональным назначением является заданное согласование между их переменными состояния в процессе движения [36]. Свойства этого согласованного движения определяются совокупностью желаемых многообразий, вдоль пересечения которых и движется изображающая точка системы. Для природных же систем многообразия в их пространстве состояний часто отражают соответствующие законы сохранения, присущие этим системам.

Итак, применение инвариантных многообразий для решения задач управления различными объектами основывается на глубокой аналогии между процессами в природных системах и в технических управляемых системах. Указанная аналогия следует из фундаментальных принципов сохранения в физике — закона сохранения энергии, закона сохранения количества движения (импульса), закона сохранения момента количества движения, закона сохранения массы и т.д. Инвариантные многообразия, присущие синтезируемым системам, представляют собой некоторые функции, которые во время движения не изменяются в силу указанных законов сохранения. В механике, как это выше показано, величины, которые подчиняются соответствующим законам сохранения, называют интегралами движения, являющимися некоторыми постоянными величинами. Любое механическое движение с необходимостью содержит в себе те или иные инвариантные величины. Изучение механического движения возможно именно в той мере, в какой удается найти эти величины и сформулировать на их основе некоторые количественные законы движения. Развитие физики, химии и биологии показывает фундаментальное значение принципов сохранения, действующих не только в области механического движения. Основополагающей идеей, присущей предмету и методу науки, является идея сохранения или, иначе, принцип инвариантности. В той мере, в какой эта идея принимает конкретные и разнообразные формы, в той же мере совершается открытие подлинных законов природы [37].

В процессе развития науки, в первую очередь физики, выявилось исключительное значение принципа инвариантности законов науки, который относится к особому типу принципов сохранения. Каждый закон выражает собой некоторое постоянство природных процессов и в этой связи принцип инвариантности законов отражает специальные условия этого постоянства по отношению к определенному классу движений. В связи с тем, что природные явления изменчивы и многообразны, законы, лежащие в их основе, выражают определенную устойчивость изменений. При исследовании любого природного процесса поиск законов этого движения невозможен без выявления некоторых динамических постоянных, свойственных рассматриваемому движущемуся объекту. Здесь уместно привести следующие слова. В. Гейзенберга: “Восприняв от античности идею о математическом истолковании порядка в природе, современное естествознание осуществляет ее, однако, другим... способом... Наука нового времени показала, что в окружающем нас реальном мире неизменными являются не геометрические формы, а динамические законы...”. Каждый закон действует в определенной, фиксированной системе. Для того, чтобы найти законы движения, действующие одинаковым образом в различных системах, необходимо указать принцип, придающий законам природы общий характер [37]. Именно таким принципом и является принцип сохранения (инвариантности), который содержится в структуре любой теории, описывающей то или иное природное явление. Выявление инвариантных свойств исследуемых систем позволяет сформулировать специфические закономерности функционирования разнообразных систем. Таким образом, применение инвариантных многообразий $\psi_s=0$ для решения задач синтеза систем управления имеет глубокое естественно-научное обоснование как применение одного из принципов сохранения. В развиваемом здесь методе синтеза эта идея дополняется идеей придания движению синтезируемых систем некоторых общих желаемых свойств.

Необходимо подчеркнуть, что в отличие от классического подхода механики, когда инвариантные многообразия (первые или частные интегралы) отыскиваются, в развиваемых здесь теории и методе синтеза, они задаются как желаемые и часто имеют непосредственный физический смысл, связанный с природой исходного динамического объекта и требованиями (например, оптимальности) технологической задачи, для решения которой и синтезируется система управления объектом.

Итак, в книге развивается новая синергетическая концепция в теории синтеза систем управления нелинейными многомерными динамическими объектами различной природы, основанный на естественном гомеостазисе — сохранении внутренних желаемых свойств динамических систем. Предлагаемое в данной книге введение инвариантов — синергий в прикладную теорию управления, как ее базовых элементов, позволяет придать этой теории естественно-математическое единство и концептуально-методологическую целостность. Язык инвариантов здесь играет роль базового языка науки, определяющего системную сторону теории управления и устанавливающего непосредственную связь этой теории с фундаментальными принципами современного естествознания — принципами отбора действительных движений из множества возможных на основе инвариантных соотношений, связанных с законами сохранения в соответствующей предметной области науки. Как известно, управление — это всегда то или иное действие на соответствующий объект. В этой связи возникает проблема создания прикладной теории управления, в возможно большей мере учитывающей естественные свойства объекта, при этом сами управления желательно сделать минимально возможными для достижения поставленной цели управления. Отсюда следует, что синергетическая теория управления — это теория, по возможности, несилового управления, не противоречащего естественному движению динамического объекта.