Модуль 1. Принцип динамического расширения — сжатия фазового пространства в теории управления

1.1. Постановка нелинейной проблемы аналитического конструирования агрегированных регуляторов

Опираясь на изложенные в предыдущей главе концептуальные положения развиваемой здесь синергетической теории управления и отличительные особенности диссипативных систем — наличие в их фазовом пространстве аттракторов, сформируем первоначальную постановку проблемы синергетического синтеза нелинейных, многомерных и многосвязных систем управления. В последующих главах эта постановка будет расширяться и уточняться в процессе развития методов синергетической теории управления. Для нас здесь важно ввести базовые понятия и определения этой теории, опираясь на которые можно построить соответствующие процедуры синтеза законов управления объектами различной природы.

Предположим, что объект управления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений$$ \dot {\mathbf x}(t)=\mathrm f(\mathbf x, \mathbf u), \qquad(1.1)$$где $\mathbf x$ — вектор координат состояния размерности $n$; $\mathbf u$ — вектор управления размерности $m \le n$.

Поставим первую простейшую задачу синергетической теории управления: требуется найти закон управления$$ \mathbf{u(\psi)=u(x)}, \qquad(1.2)$$который обеспечивает перевод изображающей точки (ИТ) системы (1.1) из произвольного начального состояния $\mathbf x_0(x_{10},\dots,x_{n0})$ (в некоторой допустимой области) сначала в окрестность инвариантного многообразия$$\psi(x_1,\dots,x_n)=0 \qquad(1.3)$$в фазовом пространстве координат, а затем дальнейшее асимптотически устойчивое движение ИТ вдоль этого многообразия в желаемое состояние системы (1.1), в частности в начало ее координат. Закон управления (1.2) удерживает ИТ в указанной окрестности при ее дальнейшем движении вдоль $\psi(x_1,\dots,x_n)=0$ (1.3). Притягивающие многообразия $\psi(x_1,\dots,x_n)=0$ могут быть интерпретированы как задаваемые целевые множества, к которым неизбежно должна притягиваться ИТ из произвольного начального состояния, а затем двигаться вдоль них. Например, для объектов второго порядка многообразие представляет собой уравнение желаемой фазовой траектории $\psi(x_1,\dots,x_n)=0$, с которой ИТ должна сначала сблизиться, а затем двигаться вдоль нее к началу координат фазовой плоскости.

В аналитической механике [1, 2] многообразия $\psi=0$ называют инвариантными. Напомним определение понятия инвариантного (интегрального) многообразия динамической системы: гладкая поверхность в пространстве координат $x_1,\dots,x_n$ называется инвариантным интегральным многообразием системы, если произвольная траектория, имеющая хотя бы одну общую точку с этой поверхностью, целиком ей принадлежит. Очевидно, что особый интерес представляет построение инвариантных многообразий последовательно понижающейся размерности ($n-1$, $n-2$, и т.д.), которые обладают свойством притяжения траекторий, начинающихся вне этих многообразий.

Подчеркнем, что наличие или отсутствие в пространстве состояний некоторых инвариантных многообразий $\psi=0$ является важным для поведения именно нелинейных систем, для которых, как известно, не сохраняет свою силу классический принцип суперпозиции. В этой связи свойства нелинейных систем кардинальным образом отличаются от линейных многовариантностью своего поведения. Наличие же в пространстве состояний притягивающих многообразий (аттракторов), к которым устремляются решения нелинейных дифференциальных уравнений систем, позволяет определенным образом упорядочить их поведение и подчинить движение некоторым достаточно строгим законам. В соответствии с этими законами ИТ системы, попав в область действия притягивающего многообразия, затем неизбежно попадает на него и дальнейшее поведение системы будет определяться уже свойствами этих многообразий. Разумеется, что в общем случае в исходном пространстве состояний нелинейных объектов могут быть такие инвариантные многообразия (“черные дыры” черные дыры ), свойства которых не соответствуют или даже противоречат требуемым динамическим свойствам синтезируемых систем.

Существенное отличие от задач механики [1] рассматриваемого метода применения инвариантных многообразий $\psi=0$ (1.3) для задач управления состоит в том, что эти многообразия не отыскиваются, а заранее задаются. Здесь изучается проблема построения таких нелинейных систем управления различной физической (химической, биологической и т.п.) природы, в которых протекают переходные процессы, удовлетворяющие поставленным заранее требованиям в виде конечных уравнений (1.3). В итоге задача синтеза сводится к построению дифференциальных уравнений замкнутой системы (1.1), (1.2) по заданным частным интегралам (1.3) — инвариантным многообразиям, описывающим заданную программу движения. В определении законов управления (1.2), обеспечивающих желаемое движение системы, и состоит основная нелинейная проблема АКАР — аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям. По аналогии с аббревиатурой АКОР — аналитическое конструирование оптимальных регуляторов рассматриваемая проблема названа нелинейной проблемой АКАР, а функция $\psi(x_1,\dots,x_n)$, определяющая многообразие (1.3), названа агрегированной макропеременной. Под агрегированием обычно понимается [3, 4] получение из исходной модели задачи так называемой агрегированной модели, которая содержит в себе меньшее количество переменных, чем исходная. Агрегированная модель должна быть проще исходной модели, являться ее следствием, при этом эквивалентом агрегирования является факторизация систем. В работах [3, 4, 5] предложены некоторые способы приближенного агрегирования линейных систем.

Функции $\psi(x_1,\dots,x_n)$ и, следовательно, притягивающие многообразия $\psi=0$ могут строиться различными способами. В общем случае при выборе многообразий $\psi(x_1,\dots,x_n)=0$ полезно придерживаться следующего положения: оказывается, что целесообразно построенные и технически рациональные системы (“объект-регулятор”) имеют в пространстве состояний некоторое внутреннее “желаемое” состояние $\psi_{\text {ж}}(x_1,\dots,x_n)=0$, на котором обеспечивается асимптотически устойчивое динамическое равновесие системы и сохраняются основные характерные свойства объекта (технический гомеостазис). Перевод объекта на это состояние осуществляется в результате действия синтезируемых управлений $\mathbf u(x_1,\dots,x_n)=0$, которые, как правило, минимальны, что согласуется с известным в механике принципом наименьшего принуждения Гаусса [7]. Задача конструктора системы управления состоит в поиске желаемого для объекта притягивающего многообразия $\psi_{\text {ж}}=0$ в пространстве состояний. Наличие этого многообразия непосредственно связано с внутренними свойствами нелинейного объекта и свойствами решаемой системой (“объект-регулятор”) технологической задачи, характеристики которой обычно являются внешними (требуемыми) по отношению к объекту. Очевидно, что вид закона управления (регулятора) существенным образом зависит от близости или различия динамических свойств объекта и требуемых свойств системы. При использовании желаемых притягивающих многообразий регулятор наилучшим образом согласует свойства нелинейного объекта и требования технологической задачи, обеспечивая высокие динамические показатели синтезированной системы и гарантируя асимптотическую устойчивость движения. К желаемым многообразиям относятся, очевидно, такие, которые удовлетворяют принципу минимума диссапации энергии Н.Н. Моисеева, а также свойству управляемости обектов.

Рассмотрим теперь биологическую и механическую аналогии поставленной здесь новой в теории управления проблемы АКАР.